classification des équations aux dérivées partielles E.D.P

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classification des équations aux dérivées partielles E.D.P

Message par mohamedmm le Mer 10 Juin - 20:51

Quelques précisions sur Matlab
Tout au long de ce projet, nous nous sommes aides du logiciel de calcul Matlab (abrégé de Matrix Laboratory) qui permet de mener à bien des calculs principalement matriciels mais qui fournit aussi des algorithmes efficaces d’approximations numériques (intégrales, racines de polynôme...). Le but de cette partie est d’´ éclairer et préciser les fonctionnalités de Matlab et plus précisément celles relevant de la geometrie, des éléments finis et des équations aux d´ diverses partielles, mais aussi celles relatives au stockage des données. Ceci en vue de permettre une meilleure compréhension des algorithmes que nous d´eveloppons par la suite.
1 La PDE Toolbox de Matlab et stockage de données
La PDE Toolbox de Matlab est un module de Matlab qui offre `a la fois tout un panel de commandes principalement d´edi´ees `a la resolution, `a l’aide de la méthode des elements finis, des equations aux dérivees partielles lineaires en deux dimensions et dans une moindre mesure celles non lineaires, mais elle fournit de plus un environnement graphique pratique et des outils typiquement geometriques intervenant dans la resolution des equations aux derivees partielles par la methode des elements finis (maillage, rafinement, de composition de domaine...). Ces fonctionnalit´es utilisent un codage de la geometrie qu’il nous a fallu decrypter avant decrire nos premiers algorithmes.
1.1 L’interface graphique (Graphic User’s Interface)
La G.U.I permet de cr´eer le domaine sur lequel on cherche `a r´esoudre l’E.D.P `a l’aide de commandes classiques de logiciels de dessin (rectangles, lignes bris´ees, ellipses). On peut donc dessiner un large eventail de domaines diff´erents, bien qu’on soit limit´e aux domaines dans R2 Signalons au passage que des logiciels professionnels type Comsol Multiphysics ou Cesar offrent bien plus de possibilt´e quant `a la cr´eation de domaines et les ´equations trait´ees. De plus, on ne peut pas tracer de courbes pour des domaines ”exotiques” (fronti`eres paraboliques ou hyperboliques par exemple). N´eanmoins, a l’aide de la combinaison de plusieurs domaines on a pu tracer le domaine simplifie ´e correspondant `a notre probl`eme (couronne ”trou´ee”, voir Fig 2.1 page suivante). Enfin, il faut pr´eciser que toutes les op´erations que l’on effectue dans l’interface
pr´ef`ere des maillages diff´erents (plus r´eguliers comme le maillage de Poisson par exemple ou bien des maillages quadrangles selon la g´eom´etrie du domaine). De plus, on ne peut pas non plus obtenir des maillages adaptatifs ou anisotropiques o`u le nombre d’´el´ements est bien plus ´el´ev´es au voisinage de singularit´es ou bien en des endroits o`u l’on a besoin de plus de pr´ecisions sur la solution, comme par exemple dans le cas d’une coque de bateau ou d’une aile d’avion o`u les maillages ressemblent `a celui-ci : En d´efinitive, le mailleur de la PDE Toolbox ne permet pas une grande libert´e quant au choix du maillage. Ce qui dans certains cas peut s’av´erer dommageable sur la pr´ecision de la solution. Une fois le maillage initialis´e (ce qu’on peut obtenir en ligne `a l’aide de la commande initmesh), on peut d´ecider de le raffiner c’est-`a-dire d’augmenter le nombre d’´el´ements ou ce qui revient au mˆeme de diminuer le pas de discr´etisation pour obtenir une meilleure approximation de la solution. En ligne,
on utilise la commande refinemesh. Enfin, on peut am´eliorer la qualit´e du maillage `a l’aide de la commande jigglemesh qui a pour fonction de ”r´egulariser” le maillage. En effet, des triangles trop aplatis ou de tailles disparates nuisent `a la r´esolution en augmentant le conditionnement de la matrice de rigidit´e du probl`eme associ´e (stiffness matrix sous Matlab et g´en´eralement not´ee K). Voici un exemple de maillage obtenu grˆace `a la PDE Toolbox o`u on a affich´e les num´eros des noeuds et des triangles

mohamedmm

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Re: classification des équations aux dérivées partielles E.D.P

Message par bouklachi.abbes le Jeu 11 Juin - 0:20

ok,
groupe n°4
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thème:classification des edp
flower

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