EDP du second ordre, classification

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EDP du second ordre, classification

Message par mohamedmm le Mar 9 Juin - 20:37

La majorité des équations différentielles qui apparaissent en physique font intervenir des dérivées partielles par rapport aux  variables spatiales et temporelle, et sont donc des équations aux dérivées partielles. On se limitera ici aux équations aux dérivées partielles du second ordre.

Dans le cas d'équations dépendant de deux variables, on distingue les trois cas suivants:

1 Equations hyperboliques: l'exemple classique est l'équation des ondes
2 Equations paraboliques: l'exemple classique est l'équation de la chaleur
3 Equations elliptiques: l'exemple classique est l'équation de Laplace


     Les solutions de ces différentes équations aux dérivées partielles ont des comportements radicalement différents, qui correspondent à des situations physiques très différentes elles aussi. La classification est basée sur une analogie avec les côniques.

Le Laplacien

L'opérateur Laplacien joue un rôle majeur en Physique. En effet, il intervient par exemple dans le calcul des variations de fonctionnelles faisant intervenir la norme carrée du gradient d'une fonction, ce qui est une situation courante.
Le Laplacien peut prendre différentes formes, suivant le système de coordonnées utilisé. Par exemple, dans le cas bidimensionnel, il s'écrit soit en coordonnées Cartésiennes, soit en coordonnées polaires
Il est important de bien comprendre la signification physique du Laplacien, nous allons l'illustrer dans le cas bidimensionnel. L'information fondamentale est que le Laplacien d'une fonction de deux variables $ F$ mesure la concavité de $ F$ au point considéré.

Conditions aux bords

On s'intéresse ici à ce que l'on appelle des problèmes aux bords, c'est à dire des équations aux dérivées partielles faisant intervenir des dérivées spatiales, définies dans un domaine borné, et dans lesquels des conditions aux bords sont spécifiées. Ce type de problème peut se rencontrer dans de nombreuses circonstances, par exemple après avoir éliminé une variable temporelle d'un problème parabolique ou hyperbolique par séparation des variables.
Conditions de Dirichlet

Les conditions aux bords de Dirichlet spécifient les valeurs de la solution sur le bord du domaine. L'exemple le plus simple, en deux dimensions, est fourni par l'équation de Laplace


étant une fonction fixée sur partial . On parle alors de problème de Dirichlet intérieur , par opposition au problème de Dirichlet extérieur , dans lequel on résoutdans l'espace extérieur à (son complémentaire dans le plan), toujours avec la condition aux bords


Problème extérieur, problème dans une couronne

une fonction fixée. peut être résoilmu de façon tout à fait similaire. Les solutions générales angulaire et radiale et  sont toujours valides. L'exigence d'une solution bornée impose encore la nullité du coefficient du terme logarithmique dans , mais impose cette fois la nullité des coefficients des termes en  dans, ce qui conduit à des solutions de la forme.

mohamedmm

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Date d'inscription : 09/06/2015

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