expose de masetre1 dendaniç med amine mef

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expose de masetre1 dendaniç med amine mef

Message par dandani le Dim 20 Sep - 18:19

Introduction
La méthode des éléments finis fait partie des outils de mathématiques appliquées. Il s'agit de mettre en place, à l'aide des principes hérités de la formulation variationnelle ou formulation faible, un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d’une équation aux dérivées partielles (ou ÉDP) sur un domaine compact avec conditions aux bords et/ou dans l'intérieur du compact. On parle couramment de conditions de type Dirichlet (valeurs aux bords) ou Neumann (gradients aux bords) ou de Robin (relation gradient/valeurs sur le bord).

Il s'agit donc avant tout de la résolution approchée d'un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d'existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée. Comme de nombreuses autres méthodes numériques, outre l'algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :

·         existence de solutions,
·         unicité de la solution,
·         stabilité,
·         convergence,
·         et bien sûr : mesure d'erreur entre une solution discrète et une solution unique du problème initial.
La partie 2 va présenter le cadre général de la méthode des éléments finis, ainsi que le cas pratique le plus courant considérant des équations aux dérivées partielles linéaires dont on cherche une approximation par des fonctions affines.

La présentation en partie 3 est essentiellement physique, notamment mécanique. Elle ne doit être considérée que comme une présentation des éléments constitutifs de la modélisation discrète utilisée en résistance des matériaux via la méthode des éléments finis. C'est une approche tout à fait valide, un bon exemple pédagogique. Elle apporte un biais certain quant à une approche plus générale, du fait notamment de la linéarité supposée des matériaux.

Méthode des éléments finis
Principe général
l'utilisation de mailles tétraédriques (gauche) permet de mailler « fidèlement » des géométries complexes. L'utilisation d'un maillage régulier (droite) n'est possible que sur des domaines simples, mais permet de réduire le nombre de nœuds et donc le coût du calcul.
·        

·        
Considérons un domaine Ω (typiquement une portion de l'espace) dont la frontière est notée δΩ ou Σ. Nous cherchons à déterminer une fonction udéfinie sur Ω, qui est une solution d'une équation aux dérivées partielles (ÉDP) pour des conditions aux limites données. L'ÉDP décrit le comportement physique du système, il s'agit par exemple des lois de l'élasticité pour un problème de résistance des matériaux ou des équations de Maxwell pour les problèmes d'électromagnétisme. Les conditions aux limites sont les contraintes s'exerçant sur le système. Par exemple, pour un problème de résistance des matériaux, on impose le déplacement de certaines parties du système, par exemple, on impose qu'une zone d'appui soit immobile, et on impose des efforts sur d'autres zones (poids, pression de contact…).


La méthode des éléments finis (MÉF) permet de résoudre de manière discrète et approchée ce problème ; on cherche une solution approchée « suffisamment » fiable.

La discrétisation consiste à « découper » le domaine Ω, c'est-à-dire à chercher une solution du problème sur un domaine polygonal ou polyédrique par morceaux ; il y a donc une rédéfinition de la géométrie. Une fois la géométrie approchée, il faut choisir un espace d'approximation de la solution du problème, dans la MÉF, cet espace est défini à l'aide du maillage du domaine (ce qui explique aussi pourquoi il est nécessaire d'approcher la géométrie). Le maillage du domaine permet d'en définir un pavage dont les pavés sont les éléments finis.

Sur chacun des éléments finis, il est possible de linéariser l'ÉDP, c'est-à-dire de remplacer l'équation aux dérivées partielles par un système d'équations linéaires, par approximation. Ce système d'équations linéaires peut se décrire par une matrice ; il y a donc une matrice par élément fini. Cependant, les conditions aux frontières sont définies sur les frontières du système global et pas sur les frontières de chaque élément fini ; il est donc impossible de résoudre indépendamment chaque système. Les matrices sont donc réunies au sein d'une matrice globale. Le système d'équations linéaires global est résolu par l'ordinateur (des systèmes simples peuvent être résolus à la main et constituent en général des exercices d'apprentissage).

L'ÉDP est résolue aux nœuds du maillage, c'est-à-dire que la solution est calculée en des points donnés (résolution discrète) et non en chaque point du domaine Ω. Cela nécessite de pouvoir interpoler, c'est-à-dire déterminer les valeurs en tout point à partir des valeurs connues en certains points. On utilise en général des fonctions polynomiales.

Un élément fini est la donnée d'une cellule élémentaire et de fonctions de base de l'espace d'approximation dont le support est l'élément, et définies de manière à être interpolantes (voirFonctions de base).
Nous voyons ici poindre trois sources d'erreur, c'est-à-dire d'écart entre la solution calculée et les valeurs réelles :

·        la modélisation de la réalité : le domaine Ω correspond en général à des pièces matérielles, le calcul se fonde sur des versions idéales (sans défaut) des pièces, de la matière et des conditions aux limites ; cette source d'erreur n'est pas spécifique à la méthode des éléments finis, et peut être prise en compte par la méthode contrainte-résistance ;
·        la géométrie idéale et continue est remplacée par une géométrie discrète, et les valeurs sont interpolées entre des points ; plus les points sont espacés, plus la fonction d'interpolation risque de s'écarter de la réalité, mais à l'inverse, un maillage trop fin conduit à des temps de calculs extrêmement longs et nécessite des ressources informatiques (en particuliermémoire vive) importante, il faut donc trouver un compromis entre coût du calcul et précision des résultats ;
·        s'agissant de calcul numériques, il se produit inévitablement des erreurs d'arrondi, les nombres étant représentés par un nombre fini d'octets.
Toute l'habileté de l'ingénieur consiste à maîtriser ces erreurs notamment :

·        en simplifiant la géométrie (defeaturing), en enlevant des détails qui se situent loin des zones que l'on veut étudier et ayant une faible influence sur le résultat ;
·        en choisissant des maillages adaptés, par exemple, des maillages de type poutre pour des pièces élancées, ou de type coque pour des pièces fines, en découpant la pièce pour pouvoir faire des maillages réguliers sur certaines zones, en affinant le maillage dans les zones critiques…
·        en ayant un regard critique sur le résultat.
Bien qu'il existe de nombreux logiciels exploitant cette méthode et permettant de « résoudre » des problèmes dans divers domaines, il est important que l'utilisateur ait une bonne idée de ce qu'il fait, notamment quant au choix du maillage et du type d'éléments qui doivent être adaptés au problème posé  : aucun logiciel ne fait tout pour l'utilisateur, et il faut toujours garder un œil critique vis-à-vis de solutions approchées. Pour cela il existe des indicateurs d'erreur et des estimateurs d'erreur qui permettent d'ajuster les différents paramètres.

La solution trouvée, il reste cependant à déterminer les caractéristiques de la méthode ainsi développée, notamment l'unicité de l'éventuelle solution ou encore la stabilité numérique du schéma de résolution. Il est essentiel de trouver une estimation juste de l'erreur liée à la discrétisation et montrer que la méthode ainsi écrite converge, c’est-à-dire que l'erreur tend vers 0 si la finesse du maillage tend elle aussi vers 0.

Dans le cas d'une ÉDP linéaire avec opérateur symétrique (comme l'est l'opérateur laplacien), il s'agit finalement de résoudre une équation algébrique linéaire, inversible dans le meilleur des cas.

Dimensions
Pour l'explication, nous développons ici la méthode des éléments finis en deux dimensions à valeurs réelles. On suppose que les équations étudiées sont des équations différentielles d'ordre deux.

La méthode est généralisable à des cadres d'espaces de dimension différente ou pour des équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur :

·        on traite ici le cas d'une solution réelle à une ÉDP ; les cas où la dimension de la solution serait plus grande se traitent de façon similaire mais nécessitent des écritures plus complètes ; les cas les plus couramment rencontrés sont la dimension 1 (comme ici), 2 ou 3 (pour des problèmes de mécanique), 6 ou 12 (pour des problèmes d'électromagnétisme respectivement réels ou complexes) ;
·        les degrés de différentiation supérieurs sont ramenés à un degré moindre par la méthode classique de réduction de degré : on fait intervenir des variables supplémentaires, c'est-à-dire des dérivées partielles des variables de départ (exemple classique : les ÉDP de la mécanique statique des poutres font intervenir la dérivation partielle d'ordre 4) ; il est parfois possible, pour des degrés supérieurs, d'appliquer plusieurs fois les méthodes de formulation variationnelles afin d'obtenir des ordres plus faibles — en tout cas lorsque le degré de dérivation est pair.
Bien que théoriquement la méthode soit transposable en dimensions supérieures du support, techniquement la complexité de création des discrétisations croît avec la dimension… et pratiquement, on résout rarement des problèmes en dimensions supérieures à 3 — y compris des problèmes de dynamique en espace à 3 dimensions qui pourraient être traités en quatre dimensions mais sont traités en réalité avec une méthode mixte éléments finis « en espace » et en différences finies « en temps ».

Choix d'un maillage et discrétisation
Choix d'un maillage

Un exemple de maillage triangulaire
Raffinement de maillage par diminution de la taille d'éléments (typeh, à gauche) ou par augmentation du degré des éléments (type p, à droite).
La méthode des éléments finis repose sur un découpage de l'espace selon un maillage. D'habitude l'on choisit un maillage carré ou triangulaire mais rien n'interdit de choisir des maillages plus complexes. Il n'est pas non plus nécessaire que le maillage soit régulier et l'on a tendance à resserrer le maillage près des endroits d'intérêt (par exemple aux endroits où l'on pense que la solution va beaucoup varier) ; cependant, il faut veiller à avoir des éléments faiblement distordus (se rapprocher d'un polygone régulier). Plus ce maillage est resserré, plus la solution que l'on obtient par la méthode des éléments finis sera précise et proche de la « vraie » solution de l'équation aux dérivés partielles.

On appelle traditionnellement h la plus grande dimension d'un élément (le diamètre de la sphère dans laquelle s'inscrit l'élément), et p le degré du polynôme décrivant le côté ou l'arête (p = 1 pour des côtés/arêtes droits, p = 2 pour des côtés/arête présentant une courbure).

Dans l'idéal, le maillage doit donc épouser les contours δΩ du domaine. Si δΩ est courbe, alors on peut :

·         soit utiliser des éléments plus petits, on parle de raffinement de type h ;
·         soit utiliser des éléments dont les côtés (en 2D) ou arêtes (en 3D) sont courbes, on parle de raffinement de type p.
Lorsque le degré des polynômes p est élevé, on parle de méthode des éléments spectraux.

Définition formelle

Le cadre mathématique des éléments finis permet de poser un système assurant la bonne définition de la solution.

Élément fini — On appelle élément fini la donnée d'un triplet  avec

·         K est un domaine géométrique,
·          est un espace de fonctions sur K, qu'on appelle espace des fonctions de base,
·          est un ensemble de formes linéaires sur , qu'on appelle degrés de liberté.
Cette définition offre a priori beaucoup de liberté, mais en général, plusieurs conditions sont imposées : le domaine K est pris comme non dégénéré, l'espace des fonctions de base sera choisi de dimension finie et simples à calculer et les degrés de liberté seront pris comme vérifiant la propriété d'unisolvance :

Unisolvance — L'élément fini  est dit unisolvant si spécifier les valeurs sur chaque degré de liberté permet de spécifier une unique fonction de .

Fonctions de base[modifier | modifier le code]

Fonction de base en dimension 1. Les xi sont les nœuds du réseau.
On doit après prendre une base de fonctions « adaptées » au maillage. Plusieurs choix sont alors possibles. En général, les fonctions de base utilisées pour les éléments finis sont interpolantes, c'est-à-dire que les valeurs nodales sont les valeurs des grandeurs inconnues aux nœuds.

La plus simple est l'emploi des polynômes de Lagrange. Dans cette méthode les fonctions de base valent 1 à un nœud du maillage et 0 à tous les autres. La fonction de base i est alors la fonction valant 1 au nœud i et 0 sur les autres nœuds et qui est polynomiale sur chaque élément. Un exemple de telles fonctions est représenté en dimension 1 à côté. Il y a autant de fonctions de base par élément que de nombre de nœuds.

On appelle élément la donnée d'une géométrie (souvent polygonale en 2D, polyédrique en 3D) et de fonctions de base associées à cette géométrie.

D'autres solutions peuvent exister pour les fonctions de base. On cite ici un seul exemple les éléments finis d'Hermite qui ont la particularité d'avoir deux fonctions de base associées à chaque nœud. Dans cette version, la valeur de la solution est ajustée avec la première fonction alors que la deuxième permet d'ajuster la valeur de la dérivée. Ce type de fonctions de base peut avoir un intérêt pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles (par exemple l'équation des plaques en mécanique des milieux continus), même si elle nécessite d'avoir deux fois plus de fonctions pour un maillage donné.

Quelques éléments classiques

Principaux types d'éléments utilisé en 3D.
En 2D :

·         triangles
·         triangles de degré 1, (triangles à 3 nœuds, fonctions linéaires)
·         triangles de degré 2 (triangles à 6 nœuds, polynômes de degré 2)
·         quadrilatères
·         quadrilatères de degré 1 (carrés à quatre nœuds, fonctions linéaires)
·         quadrilatères de degré 2 (carrés à 8 ou 9 nœuds, polynômes de degré 2)
En 3D :

·         tétraèdres
·         tétraèdres de degré 1, (quatre nœuds, fonctions linéaires)2
·         tétraèdres de degré 2, (dix nœuds, polynômes de degré 2)3
·         hexaèdres4
·         hexaèdres de degré 1, (huit nœuds, fonctions linéaires)
·         hexaèdres de degré 2, (vingt nœuds, polynômes de degré 2)
·         hexaèdres triquadratique, (vingt-sept nœuds, polynômes de degré 2)
Définition d'un élément fini
Milieu continu
Milieu discrétisé

En calcul de structures, un élément fini est caractérisé par deux matrices :

·         La matrice de raideur
·         La matrice de masse
Application de la méthode des éléments finis à la mécanique
Définitions et notations

On cherche ici à déterminer le vecteur des déplacements  C'est un vecteur dont chaque composante est également appelée degré de liberté (ddl)

·         3 ddl de translation :
·         3 ddl de rotation :
On écrit alors le tenseur des déformations , qui modélise la façon dont le matériau va se déformer par rapport à sa position initiale.

Sous l'hypothèse des petites déformations, on a

Comme , on a Sous l'hypothèse des petites déformations, on néglige les termes d'ordre 2 :

Éléments finis en contrainte
Au lieu de rechercher une solution approchée en déplacement, on peut aussi rechercher la solution approchée en contrainte.

Dans le cas de la mécanique, l'application du principe des puissances virtuelles donne de manière non triviale les théorèmes énergétiques. On peut aboutir au même résultat en quelques lignes en écrivant l'erreur en relation de comportement.

L'approche en contrainte consiste à rechercher dans l'espace des champs de contraintes admissibles celui qui réalise le minimum de l'énergie complémentaire.

Cette approche est plus précise que l'approche en déplacement mais elle est peu développée du fait de la difficulté que l'on a à générer des champs de contraintes de divergence donnée.

Logiciels d'éléments finis
Quelques exemples de logiciels utilisant la méthode des éléments finis en mécanique des structures :

·         ABAQUS : logiciel pluridisciplinaire développé par la société Dassault Systèmes
·         ADVANCE DESIGN : logiciel français développé par GRAITEC ( remplace EFFEL)
·         ANSYS : logiciel pluridisciplinaire développé par ANSYS
·         CAST3M : logiciel pluridisciplinaire français développé par le CEA (gratuit pour l'enseignement et la recherche)
·         ASTER : logiciel pluridisciplinaire libre français développé par EDF
·         COMSOL Multiphysics : logiciel pluridisciplinaire développé par Comsol,
·         CosmosWorks : Ancienne version de SolidWorks (Dassault Systèmes)
·         Dytran : logiciel américain développé par MSC.Software
·         EFFEL : logiciel français développé par GRAITEC
·         EuroPlexus : logiciel français
·         Flux2D/3D : logiciel 2D&3D éléments finis français (développé en collaboration avec le GE2Lab) permettant le calcul des états magnétiques, électriques ou thermiques en régimes

dandani

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