Méthode des éléments finis (FEM)

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Méthode des éléments finis (FEM)

Message par mohamed belaid saifi le Jeu 11 Juin - 11:30

Introduction :
La méthode des éléments finis fait partie des outils de mathématiques appliquées. Il s'agit de mettre en place, à l'aide des principes hérités de la formulation variationnelle ou formulation faible, un algorithme discret mathématique permettant de rechercher une solution approchée d’une équation aux dérivées partielles (ou ÉDP) sur un domaine compact avec conditions aux bords et/ou dans l'intérieur du compact. On parle couramment de conditions de type Dirichlet (valeurs aux bords) ou Neumann (gradients aux bords) ou de Robin (relation gradient/valeurs sur le bord).
Il s'agit donc avant tout de la résolution approchée d'un problème, où, grâce à la formulation variationnelle, les solutions du problème vérifient des conditions d'existence plus faibles que celles des solutions du problème de départ et où une discrétisation permet de trouver une solution approchée. Comme de nombreuses autres méthodes numériques, outre l'algorithme de résolution en soi, se posent les questions de qualité de la discrétisation :
• existence de solutions,
• unicité de la solution,
• stabilité,
• convergence,
Et bien sûr : mesure d'erreur entre une solution discrète et une solution unique du problème initial.
La partie 2 va présenter le cadre général de la méthode des éléments finis, ainsi que le cas pratique le plus courant considérant des équations aux dérivées partielles linéaires dont on cherche une approximation par des fonctions affines.
La présentation en partie 3 est essentiellement physique, notamment mécanique. Elle ne doit être considérée que comme une présentation des éléments constitutifs de la modélisation discrète utilisée en résistance des matériaux via la méthode des éléments finis. C'est une approche tout à fait valide, un bon exemple pédagogique. Elle apporte un biais certain quant à une approche plus générale, du fait notamment de la linéarité supposée des matériaux.




Principe :
Considérons un domaine Ω (typiquement une portion de l'espace) dont la frontière est notée δΩ ou Σ. Nous cherchons à déterminer une fonction u définie sur Ω, qui est une solution d'une équation aux dérivées partielles (ÉDP) pour des conditions aux limites données. L'ÉDP décrit le comportement physique du système, il s'agit par exemple des lois de l'élasticité pour un problème de résistance des matériaux ou des équations de Maxwell pour les problèmes d'électromagnétisme. Les conditions aux limites sont les contraintes s'exerçant sur le système. Par exemple, pour un problème de résistance des matériaux, on impose le déplacement de certaines parties du système, par exemple, on impose qu'une zone d'appui soit immobile, et on impose des efforts sur d'autres zones (poids, pression de contact…).
La méthode des éléments finis (MÉF) permet de résoudre de manière discrète et approchée ce problème ; on cherche une solution approchée « suffisamment » fiable.
La discrétisation consiste à « découper » le domaine Ω, c'est-à-dire à chercher une solution du problème sur un domaine polygonal ou polyédrique par morceaux ; il y a donc une rédéfinition de la géométrie. Une fois la géométrie approchée, il faut choisir un espace d'approximation de la solution du problème, dans la MÉF, cet espace est défini à l'aide du maillage du domaine (ce qui explique aussi pourquoi il est nécessaire d'approcher la géométrie). Le maillage du domaine permet d'en définir un pavage dont les pavés sont les éléments finis.
Sur chacun des éléments finis, il est possible de linéariser l'ÉDP, c'est-à-dire de remplacer l'équation aux dérivées partielles par un système d'équations linéaires, par approximation. Ce système d'équations linéaires peut se décrire par une matrice ; il y a donc une matrice par élément fini. Cependant, les conditions aux frontières sont définies sur les frontières du système global et pas sur les frontières de chaque élément fini ; il est donc impossible de résoudre indépendamment chaque système. Les matrices sont donc réunies au sein d'une matrice globale. Le système d'équations linéaires global est résolu par l'ordinateur (des systèmes simples peuvent être résolus à la main et constituent en général des exercices d'apprentissage).

Dimensions :
Pour l'explication, nous développons ici la méthode des éléments finis en deux dimensions à valeurs réelles. On suppose que les équations étudiées sont des équations différentielles d'ordre deux.
La méthode est généralisable à des cadres d'espaces de dimension différente ou pour des équations aux dérivées partielles d'ordre supérieur :
On traite ici le cas d'une solution réelle à une ÉDP ; les cas où la dimension de la solution serait plus grande se traitent de façon similaire mais nécessitent des écritures plus complètes ; les cas les plus couramment rencontrés sont la dimension 1 (comme ici), 2 ou 3 (pour des problèmes de mécanique), 6 ou 12 (pour des problèmes d'électromagnétisme respectivement réels ou complexes) ;
les degrés de différentiation supérieurs sont ramenés à un degré moindre par la méthode classique de réduction de degré : on fait intervenir des variables supplémentaires, c'est-à-dire des dérivées partielles des variables de départ (exemple classique : les ÉDP de la mécanique statique des poutres font intervenir la dérivation partielle d'ordre 4) ; il est parfois possible, pour des degrés supérieurs, d'appliquer plusieurs fois les méthodes de formulation variationnelles afin d'obtenir des ordres plus faibles — en tout cas lorsque le degré de dérivation est pair.
Bien que théoriquement la méthode soit transposable en dimensions supérieures du support, techniquement la complexité de création des discrétisations croît avec la dimension… et pratiquement, on résout rarement des problèmes en dimensions supérieures à 3 — y compris des problèmes de dynamique en espace à 3 dimensions qui pourraient être traités en quatre dimensions mais sont traités en réalité avec une méthode mixte éléments finis « en espace » et en différences finies « en temps ».



Fonction de base :
On doit après prendre une base de fonctions « adaptées » au maillage. Plusieurs choix sont alors possibles. En général, les fonctions de base utilisées pour les éléments finis sont interpolantes, c'est-à-dire que les valeurs nodales sont les valeurs des grandeurs inconnues aux nœuds.
La plus simple est l'emploi des polynômes de Lagrange. Dans cette méthode les fonctions de base valent 1 à un nœud du maillage et 0 à tous les autres. La fonction de base i est alors la fonction valant 1 au nœud i et 0 sur les autres nœuds et qui est polynomiale sur chaque élément. Un exemple de telles fonctions est représenté en dimension 1 à côté. Il y a autant de fonctions de base par élément que de nombre de nœuds.
On appelle élément la donnée d'une géométrie (souvent polygonale en 2D, polyédrique en 3D) et de fonctions de base associées à cette géométrie.
D'autres solutions peuvent exister pour les fonctions de base. On cite ici un seul exemple les éléments finis d'Hermite qui ont la particularité d'avoir deux fonctions de base associées à chaque nœud. Dans cette version, la valeur de la solution est ajustée avec la première fonction alors que la deuxième permet d'ajuster la valeur de la dérivée. Ce type de fonctions de base peut avoir un intérêt pour la résolution de certaines équations aux dérivées partielles (par exemple l'équation des plaques en mécanique des milieux continus), même si elle nécessite d'avoir deux fois plus de fonctions pour un maillage donné.

Quelques éléments classiques :

En 2D :
• triangles
• triangles de degré 1, (triangles à 3 nœuds, fonctions linéaires)
• triangles de degré 2 (triangles à 6 nœuds, polynômes de degré 2)
• quadrilatères
• quadrilatères de degré 1 (carrés à quatre nœuds, fonctions linéaires)
• quadrilatères de degré 2 (carrés à 8 ou 9 nœuds, polynômes de degré 2)
En 3D :
• tétraèdres
• tétraèdres de degré 1, (quatre nœuds, fonctions linéaires)2
• tétraèdres de degré 2, (dix nœuds, polynômes de degré 2)3
• hexaèdres4
• hexaèdres de degré 1, (huit nœuds, fonctions linéaires)
• hexaèdres de degré 2, (vingt nœuds, polynômes de degré 2)
• hexaèdres tri quadratique, (vingt-sept nœuds, polynômes de degré 2)

Algorithmes :
La méthode des éléments finis doit être conduite ainsi
1. On calcule la matrice de rigidité A
2. On détermine le membre de droite, en calculant les termes ou alors par l'intermédiaire de la matrice de masse.
3. On résout le problème AU=B ou le problème AU=MF suivant le niveau de discrétisation choisi. U est alors donné par . Selon la base qui a été choisie et selon les données du problème, il faut choisir la méthode d'inversion la plus efficace pour A. C'est l'étape la plus consommatrice en termes de puissance de calcul, et l'efficacité de la méthode en termes de temps de calcul se joue principalement sur cette étape.
4. On peut écrire grâce au vecteur U qui contient les coordonnées de sur la base b et obtenir une solution approchée au problème.

Définition d’un élément finis :

En calcul de structures, un élément fini est caractérisé par deux matrices :
• La matrice de raideur
• La matrice de masse



Éléments finis en contrainte :
Au lieu de rechercher une solution approchée en déplacement, on peut aussi rechercher la solution approchée en contrainte.
Dans le cas de la mécanique, l'application du principe des puissances virtuelles donne de manière non triviale les théorèmes énergétiques. On peut aboutir au même résultat en quelques lignes en écrivant l'erreur en relation de comportement.
L'approche en contrainte consiste à rechercher dans l'espace des champs de contraintes admissibles celui qui réalise le minimum de l'énergie complémentaire.
Cette approche est plus précise que l'approche en déplacement mais elle est peu développée du fait de la difficulté que l'on a à générer des champs de contraintes de divergence donnée.


mohamed belaid saifi

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Re: Méthode des éléments finis (FEM)

Message par mohamed belaid saifi le Jeu 11 Juin - 11:32

SAIFI Mohamed Belaid, Birrou Farid, Hattab Selma, Moumou Souhila, Amrouche Meriem

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