mensieur nous sommes ""lemmou elmehdi ,sebbaghe ayoub ,meziani salah edine ayoub, mzir malek""" c'est notre théme ""la méthode des différence finies""
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mensieur nous sommes ""lemmou elmehdi ,sebbaghe ayoub ,meziani salah edine ayoub, mzir malek""" c'est notre théme ""la méthode des différence finies""
Intruduction :
Définition des equation aux derivées partielle :
Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire (à une seule variable) ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d'une équation différentielle ordinaire sont paramétrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux conditions supplémentaires, dans le cas des EDP les conditions aux limites se présentent plutôt sous la forme de fonction ; intuitivement cela signifie que l'ensemble des solutions est beaucoup plus grand, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes.
Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu'elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures, mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) ou des mathématiques financières (équation de Black-Scholes). Elles sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou la prévision météorologique. Enfin, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quantique sont également des EDP.
Méthode des différences finies
En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres.
En apparence, cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue.
Approximation des opérateurs par formules de Taylor
Article détaillé : différence finie.
Une discrétisation des opérateurs différentiels (dérivées premières, secondes, etc, partielles ou non) peut être obtenue par les formules de Taylor.
La formulation de Taylor-Young est préférable dans son utilisation simple, la formulation de Taylor avec reste intégral de Laplace permet de mesurer les erreurs (cf plus bas).
Maillage
Pour la méthode des différences finies, un maillage est un ensemble de points isolés (appelés nœuds) situés dans le domaine de définition des fonctions assujetties aux équations aux dérivées partielles, une grille sur les seuls nœuds de laquelle sont définies les inconnues correspondant aux valeurs approximatives de ces fonctions1.
Le maillage comprend également des nœuds situés sur la frontière du domaine (ou au moins « proches » de cette frontière) afin de pouvoir imposer les conditions aux limites et/ou lacondition initiale avec une précision suffisante.
A priori, la qualité première d’un maillage est de couvrir au mieux le domaine dans lequel il se développe, de limiter la distance entre chaque nœud et son plus proche voisin. Cependant, le maillage doit également permettre d’exprimer la formulation discrète des opérateurs de différentiation : pour cette raison, les nœuds du maillage sont le plus souvent situés sur une grille dont les directions principales sont les axes des variables.
On appelle pas du maillage la distance entre deux nœuds voisins situés sur une droite parallèle à l’un des axes. Dans ce sens, le pas est une notion à la fois locale et directionnelle. On parlera de pas global pour désigner le plus grand pas local, une notion qui reste directionnelle.
Bien qu’un pas constant soit le plus souvent retenu (sans qu’il pose de problème théorique pour la résolution), il est parfois judicieux d’introduire un pas variable qui sera choisi plus fin dans les zones où la solution exacte subit de plus fortes variations : cette astuce permet de réduire le nombre d’inconnues sans porter atteinte à la précision des résultats. Par contre, la formulation est un peu plus complexe car la discrétisation des opérateurs différentiels doit en tenir compte.
Abaissement du degré de dérivation
Pour des raisons d'écriture algébrique et surtout pour l'étude a priori sur la convergence et la stabilité, il est parfois utile de reformuler le problème d’origine en un problème équivalent dont les ordres de dérivation sont inférieurs, ceci en introduisant des fonctions intermédiaires qui sont des dérivées ou dérivées partielles des fonctions du problème initial.
Schéma numérique
Un schéma numérique peut être défini comme la formulation algébrique d’un problème discret conçu à l’aide de la méthode des différences finies. La démarche comprend les étapes suivantes :
• Choisir les opérateurs discrets qui sont des approximations des opérateurs différentiels de la formulation exacte.
• Générer un maillage du domaine de définition en étant attentif aux nœuds frontières et à la manière de traduire les conditions aux limites.
• En se fondant sur les expressions issues des opérateurs discrets, établir les relations liant les valeurs des fonctions aux nœuds du maillage (les inconnues).
• S’assurer que l’ensemble des inconnues et des relations qui les relient constitue un problème numérique qui ne soit pas sur- ou sous-déterminé. Cette vérification est une condition minimale pour espérer trouver une solution, mais elle ne donne aucune garantie sur la convergence globale.
Une fois que le schéma numérique est établi et que le problème discret est formulé, il s’agit non seulement de le résoudre, mais encore de s’assurer que la solution discrète converge vers la solution exacte lorsque les pas du maillage tendent vers 0.
Pour certains schémas dits explicites, il est possible d’ordonner les inconnues de telle sorte que chacune d’elle puisse être déterminée récursivement à partir des précédentes qui sont supposées être déjà calculées (matrice triangulaire). Pour les schémas implicites, il est parfois possible d’éviter de résoudre l’ensemble du système de toutes les équations. C’est en particulier le cas pour un système évolutif dont l’état, caractérisé par des variables spatiales, est défini par des conditions initiales (t = 0), puis évolue progressivement au cours du temps : le schéma numérique reste explicite dans la variable temporelle et son caractère implicite ne concerne que les variables spatiales.
Dans tous les cas, chaque équation du schéma numérique ne concerne qu’un petit nombre d’inconnues2. Dans un environnement linéaire, cette propriété conduit à formuler le problème discret à l’aide de matrices creuses et à en tirer profit pour le résoudre en utilisant des méthodes appropriées. Cet avantage est indéniable lorsque la taille du maillage dépasse le cadre d’une étude didactique.
Convergence
La convergence d’un schéma numérique est une propriété théorique globale assurant que l’écart (au sens d’une norme) entre la solution approchée et la solution exacte tend vers 0 lorsque le pas de discrétisation tend vers 0 (ou lorsque chacun des pas globaux associés aux différentes directions tendent vers 0).
La solution approchée d’un schéma numérique reste peu crédible tant que sa convergence n’a pas été montrée. Cette preuve est sans doute le point le plus délicat de la méthode des différences fines, en tout cas celui qui nécessite l’usage d’outils analytiques.
Il ne suffit pas de vérifier à l’aide d’exemples numériques concrets que le comportement de la solution discrète est conforme aux attentes pour s’assurer de la convergence. Par contre, de tels exemples peuvent aider à prouver le contraire.
Conclusion :
En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.
Définition des equation aux derivées partielle :
Une EDP a souvent de très nombreuses solutions, les conditions étant moins strictes que dans le cas d'une équation différentielle ordinaire (à une seule variable) ; les problèmes comportent souvent des conditions aux limites qui restreignent l'ensemble des solutions. Alors que les ensembles de solutions d'une équation différentielle ordinaire sont paramétrées par un ou plusieurs paramètres correspondant aux conditions supplémentaires, dans le cas des EDP les conditions aux limites se présentent plutôt sous la forme de fonction ; intuitivement cela signifie que l'ensemble des solutions est beaucoup plus grand, ce qui est vrai dans la quasi-totalité des problèmes.
Les EDP sont omniprésentes dans les sciences, puisqu'elles apparaissent aussi bien en dynamique des structures, mécanique des fluides que dans les théories de la gravitation de l'électromagnétisme (équations de Maxwell) ou des mathématiques financières (équation de Black-Scholes). Elles sont primordiales dans des domaines tels que la simulation aéronautique, la synthèse d'images, ou la prévision météorologique. Enfin, les équations les plus importantes de la relativité générale et de la mécanique quantique sont également des EDP.
Méthode des différences finies
En analyse numérique, la méthode des différences finies est une technique courante de recherche de solutions approchées d'équations aux dérivées partielles qui consiste à résoudre un système de relations (schéma numérique) liant les valeurs des fonctions inconnues en certains points suffisamment proches les uns des autres.
En apparence, cette méthode apparaît comme étant la plus simple à mettre en œuvre car elle procède en deux étapes : d'une part la discrétisation par différences finies des opérateurs de dérivation/différentiation, d'autre part la convergence du schéma numérique ainsi obtenu lorsque la distance entre les points diminue.
Approximation des opérateurs par formules de Taylor
Article détaillé : différence finie.
Une discrétisation des opérateurs différentiels (dérivées premières, secondes, etc, partielles ou non) peut être obtenue par les formules de Taylor.
La formulation de Taylor-Young est préférable dans son utilisation simple, la formulation de Taylor avec reste intégral de Laplace permet de mesurer les erreurs (cf plus bas).
Maillage
Pour la méthode des différences finies, un maillage est un ensemble de points isolés (appelés nœuds) situés dans le domaine de définition des fonctions assujetties aux équations aux dérivées partielles, une grille sur les seuls nœuds de laquelle sont définies les inconnues correspondant aux valeurs approximatives de ces fonctions1.
Le maillage comprend également des nœuds situés sur la frontière du domaine (ou au moins « proches » de cette frontière) afin de pouvoir imposer les conditions aux limites et/ou lacondition initiale avec une précision suffisante.
A priori, la qualité première d’un maillage est de couvrir au mieux le domaine dans lequel il se développe, de limiter la distance entre chaque nœud et son plus proche voisin. Cependant, le maillage doit également permettre d’exprimer la formulation discrète des opérateurs de différentiation : pour cette raison, les nœuds du maillage sont le plus souvent situés sur une grille dont les directions principales sont les axes des variables.
On appelle pas du maillage la distance entre deux nœuds voisins situés sur une droite parallèle à l’un des axes. Dans ce sens, le pas est une notion à la fois locale et directionnelle. On parlera de pas global pour désigner le plus grand pas local, une notion qui reste directionnelle.
Bien qu’un pas constant soit le plus souvent retenu (sans qu’il pose de problème théorique pour la résolution), il est parfois judicieux d’introduire un pas variable qui sera choisi plus fin dans les zones où la solution exacte subit de plus fortes variations : cette astuce permet de réduire le nombre d’inconnues sans porter atteinte à la précision des résultats. Par contre, la formulation est un peu plus complexe car la discrétisation des opérateurs différentiels doit en tenir compte.
Abaissement du degré de dérivation
Pour des raisons d'écriture algébrique et surtout pour l'étude a priori sur la convergence et la stabilité, il est parfois utile de reformuler le problème d’origine en un problème équivalent dont les ordres de dérivation sont inférieurs, ceci en introduisant des fonctions intermédiaires qui sont des dérivées ou dérivées partielles des fonctions du problème initial.
Schéma numérique
Un schéma numérique peut être défini comme la formulation algébrique d’un problème discret conçu à l’aide de la méthode des différences finies. La démarche comprend les étapes suivantes :
• Choisir les opérateurs discrets qui sont des approximations des opérateurs différentiels de la formulation exacte.
• Générer un maillage du domaine de définition en étant attentif aux nœuds frontières et à la manière de traduire les conditions aux limites.
• En se fondant sur les expressions issues des opérateurs discrets, établir les relations liant les valeurs des fonctions aux nœuds du maillage (les inconnues).
• S’assurer que l’ensemble des inconnues et des relations qui les relient constitue un problème numérique qui ne soit pas sur- ou sous-déterminé. Cette vérification est une condition minimale pour espérer trouver une solution, mais elle ne donne aucune garantie sur la convergence globale.
Une fois que le schéma numérique est établi et que le problème discret est formulé, il s’agit non seulement de le résoudre, mais encore de s’assurer que la solution discrète converge vers la solution exacte lorsque les pas du maillage tendent vers 0.
Pour certains schémas dits explicites, il est possible d’ordonner les inconnues de telle sorte que chacune d’elle puisse être déterminée récursivement à partir des précédentes qui sont supposées être déjà calculées (matrice triangulaire). Pour les schémas implicites, il est parfois possible d’éviter de résoudre l’ensemble du système de toutes les équations. C’est en particulier le cas pour un système évolutif dont l’état, caractérisé par des variables spatiales, est défini par des conditions initiales (t = 0), puis évolue progressivement au cours du temps : le schéma numérique reste explicite dans la variable temporelle et son caractère implicite ne concerne que les variables spatiales.
Dans tous les cas, chaque équation du schéma numérique ne concerne qu’un petit nombre d’inconnues2. Dans un environnement linéaire, cette propriété conduit à formuler le problème discret à l’aide de matrices creuses et à en tirer profit pour le résoudre en utilisant des méthodes appropriées. Cet avantage est indéniable lorsque la taille du maillage dépasse le cadre d’une étude didactique.
Convergence
La convergence d’un schéma numérique est une propriété théorique globale assurant que l’écart (au sens d’une norme) entre la solution approchée et la solution exacte tend vers 0 lorsque le pas de discrétisation tend vers 0 (ou lorsque chacun des pas globaux associés aux différentes directions tendent vers 0).
La solution approchée d’un schéma numérique reste peu crédible tant que sa convergence n’a pas été montrée. Cette preuve est sans doute le point le plus délicat de la méthode des différences fines, en tout cas celui qui nécessite l’usage d’outils analytiques.
Il ne suffit pas de vérifier à l’aide d’exemples numériques concrets que le comportement de la solution discrète est conforme aux attentes pour s’assurer de la convergence. Par contre, de tels exemples peuvent aider à prouver le contraire.
Conclusion :
En mathématiques, plus précisément en calcul différentiel, une équation aux dérivées partielles (EDP) est une équation dont les solutions sont les fonctions inconnues vérifiant certaines conditions concernant leurs dérivées partielles.
mzir malek- Messages : 4
Date d'inscription : 21/05/2015
Re: mensieur nous sommes ""lemmou elmehdi ,sebbaghe ayoub ,meziani salah edine ayoub, mzir malek""" c'est notre théme ""la méthode des différence finies""
Selon le programme de la journée
'
, vous devriez choisir votre thème d'une manière un plus exact parmi la classe L1 en se référant à l'annonce JS_MN_2015. cella implique que vous devriez lire le document du net (pde.pdf) ou une autre référence équivalente afin de vous évalués.
ok,
vous êtes programmé comme suit:
groupe: n°1 de 8h:30 à 8h:40
noms: lemmou elmahdi & Sebbaghe ayoub & Meziani salah edine ayoub & mzir malek
thème: FEM
'
JS_MN_2015
' qui se tiendra le 11 juin 2015 au centre de calcul C4.2 de la FSI de 8h:30 à 12:50, vous devriez choisir votre thème d'une manière un plus exact parmi la classe L1 en se référant à l'annonce JS_MN_2015. cella implique que vous devriez lire le document du net (pde.pdf) ou une autre référence équivalente afin de vous évalués.
ok,
vous êtes programmé comme suit:
groupe: n°1 de 8h:30 à 8h:40
noms: lemmou elmahdi & Sebbaghe ayoub & Meziani salah edine ayoub & mzir malek
thème: FEM
bouklachi.abbes- Messages : 153
Date d'inscription : 20/05/2014
Age : 71
Localisation : Cité 1200 logts BT80B10, 35000, BOUMERDES, ALGERIE
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